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第 三 章 矩阵的初等变换与线性方程组

&3.线性方程组的解

概念：

(资料图)

线性方程组相容：线性方程组有解。

线性方程组不相容：线性方程组无解。

定理：

n元线性方程组Ax=b

无解的充分必要条件是R(A)<R(A,b)；

有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n；

有无限多解的充分必要条件是R(A)<R(A,b)<n。

求解线性方程组的步骤：

对于非齐次线性方程组，把它的增广矩阵B化为行阶梯形，从B的行阶梯形可同时看出R(A)和R(B)，若R(A)<R(B)，则方程组无解；

R(A)=R(B)，则进一步把B化成行最简形，而对于齐次线性方程组，则把系数矩阵A化成行最简形；

设R(A)=R(B)=r，把行最简形中r个非零行的非零首元所对应的未知数取作非自由未知数，其余n-r个未知数取作自由未知数，并令自由未知数分别等于c1,c2,...,cn-r，由B（或A）的行最简形，即可写出含n-r个参数的通解。

n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是R(A)<n。

线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)。

矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是R(A)=R(A,B)。

设AB=C，则R(C)<=min{R(A),R(B)}。

关键词：